II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Haciendo f(x)=y , y considerando que  y`= dy/dx ,una ecuación diferencial de primer orden y primer grado  cualquiera siempre puede escribirse en la forma

I.                    M(x,y) dx + N(x,y) dy =0

Ejemplo f’(x) = f(x)           1/y  dy  + ((-2)/x-1) dx =0

Una ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy =0 es exacta si existe una función μ(x,y) que verifique

II.                 

III.               M(x,y) dx + N(x,y) dy=d μ(x,y)

IV.              

En ese caso μ(x,y)=C , con C igual a una constante, será la solución general de la ecuación diferencial. Soluciones particulares se obtendrán asignando valores a la C para que se verifiquen determinados comportamientos de la función y=f(x).

3x²y² dx + 2x³y dy = 0 es exacta ya que  se cumple que  d(x³y²)= 3x²y² dx + 2x³y dy. Por tanto x³y²=C es la solución general de esa ecuación diferencial.

La conversión de una ecuación diferencial en exacta para su resolución puede hacerse en muchos casos mediante los llamados factores integrantes.

3y dx + 2x dy =0 no es una ecuación diferencial exacta pero si se multiplica por x²y se obtiene

3x²y² dx + 2x³y dy=0 que es exacta. x²y se dice que es el factor integrante de 3y dx + 2x dy =0.