El método de la transformada de Laplace es un método operacional que
puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso
hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y
exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable
compleja
, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la
integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes.
Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación
algebraica de la variable compleja
. Si esa ecuación algebraica se resuelve en
para la variable
dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento
que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se
realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica
de expansión en fracciones parciales.
Es característico del método de la Transformada de
Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el
funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones
diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación
diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio
y estacionario de la solución.
o se presenta una definición de la Transformada de
Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la
transformada de Laplace.
Definimos:
f(t)= una función
de tiempo f(t)=0
tal que
para t<0
s= una
variable compleja
f(s)= transformada
de Laplace de f(t)
L un
símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse
por la integral de Laplace.
Entonces la transformada de Laplace de
está dada por
El proceso inverso de hallar en tiempo
, a partir de la transformada de Laplace
, se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de
la transformada inversa de Laplace es
así
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
La transformada de Laplace de una función
f(t) existe si la integral
de Laplace converge. La integral ha de converger si
es seccionalmente
continua en todo intervalo finito dentro del rango
y si es de orden
exponencial cuanto
tiende a infinito. Se
dice que una función
es de orden
exponencial,
si existe una
constante real, positiva
tal que la función
tiende a cero cuanto
ttiene a infinito. Si
el limite de la función
tiende a cero para θ mayor que
θt y el límite tiene a
infinito para θ
menor que θt
, el valor
recibe el nombre de
abcisa de convergencia.
Para la función
Tiende a cero si θ>α
. La abcisa de convergencia en este caso es θc=α
. La integral
converge solamente si θ
, la parte real de
s, es mayor que la abcisa de convergencia
. Así hay que elegir el operador
como una constante tal
que esta integral converja.
En términos de los polos de la función f(s)
, la abcisa de convergencia
corresponde ala parte
real del polo ubicado en posición más alejada hacia la derecha en el plano
.
Para funciones como
t
sen w t
tsenwt
la abcisa de convergencia es igual a cero.
Para funciones como
Y similares, la abcisa de convergencia es igual
Para funciones que
aumentan más rápidamente que la función exponencial, sin embargo, no es posible
encontrar valores adecuados de la abcisa de convergencia. Por lo tanto,
funciones tales como
no tienen transformada de Laplace
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