VI. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES 2..- Solución a las series de potencia

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

                                                                      [1]

 

ó en forma canónica :

                                                                        [1´]

Definiciones.

Un punto x₀   se llama punto ordinario de [1] o [1´] si las funciones   y   son analíticas en x₀  (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x₀ con radios respectivos de convergencia R₁ y R₂ no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x₀ es punto ordinario de [1] si y sólo si P(x₀) ¹ 0  ( siendo [1] no simplificable ).

Si x₀ no es punto ordinario, se llama  punto singular de la ecuación [1]  ó  [1´].

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x₀, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación [1´] en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por [1´] y las condiciones:     y(x₀) = y₀ ,      y´(x₀) = b₀      con x₀  Î I

Pero si además es x₀ un punto ordinario de  [1]  ó [1´], las p(x) y q(x) no sólo son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x₀ es un punto ordinario de [1] , surgen las preguntas siguientes:

·      ¿Existen soluciones analíticas de [1]  en un entorno de x₀ , es decir, soluciones de la forma :

                          [2]

En caso afirmativo :

·      ¿Cómo se obtienen los coeficientes a_n?

·      ¿Dónde converge la serie [2]  ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones de la forma [2], si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.

Teorema:

Si x₀ es un punto ordinario de [1]  ( ó [1’] ) entonces la solución general de [1]  en un cierto entorno de x₀  puede escribirse en la forma [2]  y a su vez :

 

                                  

            siendo  a₀  ,  a₁  ctes  arbitrarias e  y₁(x),  y₂(x) analíticas en un entorno I de x₀, y   linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y₁(x) e y₂(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x₀ (es decir, al menos igual a la distancia de x₀ al punto singular más próximo de la ecuación  [1], sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes a_n de la serie [2]  se obtienen en términos de a₀  y  a₁  , sustituyendo la serie genérica en [1], (así como los desarrollos de p(x) y q(x)  si  P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x₀ ¹ 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x₀ al origen, mediante el cambio  x - x₀ = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y(x₀) e y’(x₀), es decir por a₀ y a₁ . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a₀ y a₁.

d) El método para resolver una ecuación completa : , siendo x₀ punto ordinario y h(x) analítica en x₀, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x₀ , antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de primer orden.