III. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.- Trayectorias ortogonales.

En una ecuación diferencial debe aparecer al menos una derivada de la función incógnita. Si recordamos que la interpretación geométrica de  la primera derivada de la función en un punto dado es el límite (único) de las pendientes evaluadas en dicho punto es evidente que habrá una conexión entre problemas geométricos y problemas diferenciales.

3.1. Ecuación diferencial de primer orden e interpretación geométrica

a) Formación de una ecuación diferencial de primer orden

Consideremos una familia de curvas dependiendo de un parámetro c de ecuación

(3.1)    F(t,y,c)=0

A cada valor de c corresponde una curva de la familia.

Suponiendo que la función F Admite derivadas parciales respecto a t y a y, sabiendo además que y es función de t, se obtiene:

(3.2)   

La eliminación del parámetro c entre las ecuaciones (3.1) y (3.2) conduce a una relación

(3.3)    R(t,y,y´)=0

que representa la  ecuación diferencial de primer orden asociada a la familia de curvas definida por (3.1).

Así tenemos el siguiente resultado:

Dada una familia de curvas dependiendo de un parámetro, todas estas curvas son las curvas integrales de una misma ecuación diferencial bajo las hipótesis precedentes. Recíprocamente, la resolución de una ecuación diferencial de primer orden da una familia de curvas dependiendo de un parámetro.

Ejemplo 3.1.

Sea la familia de curvas 

(3.4)    y=c(1+t)^α , donde c: parámetro y α 1 (fijo)

Entonces

La eliminación de c entre estas dos ecuaciones nos da la ecuación diferencial de primer orden

que admite una infinidad de soluciones dadas  por  (3.4).

La figura 3.1. representa la familia de curvas soluciones si α=1.

 

 Fig.3.1.

b) Interpretación geométrica de una ecuación diferencial de primer orden

Sea la ecuación diferencial escrita bajo la forma resuelta

(3.5)    y´=f(t,y)

siendo f una función definida y continua sobre una parte D del plano.

Sea M(t,y) un punto de la curva integral (Г) de (3.5). Esta curva admite en M una tangente y´=f(t,y). Entonces tenemos el siguiente resultado:

Para que una solución  y=φ(t) definida en un intervalo I sea solución de y´=f(t,y), es necesario y suficiente que su grafo (Г) admita en todo punto M una tangente de pendiente y´=f(t,y).

Esta es la base de la integración gráfica de una ecuación diferencial. La función f define un campo tangente en la región en la cual está definida. En la figura 3.1. se ha definido una parte del campo tangente definido por la función f(t,y)= y´.

Esta interpretación geométrica puede extenderse a sistemas de ecuaciones de primer orden.

3.2. Algunas propiedades de las curvas en el plano

Supongamos que tenemos una curva en el plano definida por la ecuación  F(x,y)=0. Recordemos que si (x,y) es un punto cualquiera de dicha curva  se pueden definir conceptos tales como pendiente, rectas: tangente, subtangente, normal, subnormal (ver Fig. 3.2). Estas nociones involucran a la derivada. Así, por ejemplo:

(i)    ( ) es la pendiente de la tangente (normal) a la curva en (x,y)

(ii) x-y    y-x e   son las intercepciones de la recta tangente con los ejes x e y respectivamente.

(iii) y   x e   son las longitudes de la subtangente y la subnormal.

Estas y otras nociones relacionadas pueden expresarse igualmente en coordenadas polares.

Fig.3.2.

Ejemplo 3.2.

Si en cada punto (x,y) de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa, determinar la curva que pasa por el punto (0,e).

Usando la definición (iii) y la condición del problema obtenemos la ecuación:

y , donde k es el factor de proporcional.

Resolviendo por variables separadas se obtiene la solución general:

 

donde C es la constante a definir a partir de  la condición y(0)=e. La curva requerida es:

3.3. Trayectorias

Se dice que una curva que corta a todos los miembros de una familia dada de curvas a un ángulo constante  se llama una -trayectoria a la familia. Si  es 90° se dice trayectoria ortogonal.

 

 Las  curvas integrales de la ecuación diferencial

(3.6)   

son las -trayectorias de la familia de las curvas integrales de

(3.7)   

Por su parte las curvas integrales de la ecuación

(3.8)   

son las trayectorias ortogonales de la familia de las curvas integrales de (3.7).