II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4.- Ecuaciones exactas

Llamamos exacta a una ecuación diferencial

 


es decir,
 
 


que cumple Py= Qx (con la notación

Antes de explicar cómo resolverlas, comentemos brevemente algo sobre ((expresiones diferenciales)) (rigurosamente hablando, estamos tratando con 1-formas diferenciales
w =P dx + Qdy, aunque no entraremos en ello):
Supongamos de antemano en todo lo que sigue que P y Q son de clase C¹ (continuas con derivadas parciales continuas) en su dominio de definición (un abierto de R¹). Una expresión diferencial
 P(x,y)dx + Q(x,y)dy 
se dice que es una diferencial cerrada en una región R del plano xy si se verifica Py(x,y) = Qx(x,y) para todo (x,y) ∈ R. Y se dice exacta en R cuando existe alguna función F(x,y) tal que
 
 

 para todo (x,y) ∈ R; en otras palabras, si la diferencial de F es dF = P dx + Qdy (F, que es única salvo constantes, se denomina función potencial). El teorema de Schwartz sobre igualdad de derivadas cruzadas nos asegura que cualquier expresión diferencial exacta es cerrada. Lo contrario no es cierto en general, aunque si en una clase muy amplia  de dominios de R²: los simplemente conexos que, intuitivamente, son los que no tienen agujeros. Demostrar este hecho no es excesivamente sencillo, pero tampoco es necesario para lo que aquí pretendemos. En realidad, el lema de Poincare asegura que una expresión cerrada es exacta siempre que el dominio sea estrellado, lo que significa que exista un punto del dominio que se pueda unir a todos los demás mediante un segmento sin salirnos del dominio; en particular, los conjuntos convexos son estrellados. Además, esto asegura que, dada cualquier expresión cerrada, es exacta localmente, es decir, alrededor de cada punto podemos restringir el dominio de tal forma que la expresión sea exacta en ese nuevo dominio. Por lo tanto, en lo que a nosotros concierne, podemos identificar los conceptos de exacto y cerrado, ya que no nos estamos preocupando de dónde están definidas las E. D. que tratamos de resolver ni en qué intervalo existen las soluciones. En realidad, en ecuaciones diferenciales suele hablarse siempre de exacto aún refiriéndose a que se satisface la igualdad Py= Qx.Una E. D. exacta es una expresión exacta igualada a cero. Veamos cómo resolverlas:
si tenemos P dx + Qdy = 0 exacta, como existe F tal que dF = P dx + Qdy, entonces la ecuación podemos ponerla en la forma dF = 0 y, por tanto, su solución será F(x,y) = C
(siendo C constante arbitraria). Así pues, basta con que encontremos la función potencial F. El procedimiento para hallarla que, según veremos, funciona gracias a que Py= Qx, es como sigue:
Buscamos F tal que               así, es posible encontrar F integrando P(x,y) respectoa x mientras se mantiene y constante, es decir,
 

, donde la función arbitraria  ϕ(y) es la ((constante)) de integración. Derivando respecto de y obtenemos
 
 

 Por otra parte, si utilizamos       ,        de aquí resulta que
 

  
ésta es realmente una expresión independiente de x ya que
 
 

Una vez conocida          , integrando obtenemos            y, sustituyendo su valor, llegamos a la función  potencial F(x,y). As´ı, quedan halladas completamente las soluciones buscadas F(x,y) = C, expresadas en forma implícita.