II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 5.- Ecuaciones lineales

Dada la ecuación
y′+ a(x)y = b(x),

Vamos a explicar cómo resolverla por tres métodos distintos:

(i)                 Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). Para ello, si la ponemos en la forma (a(x)y − b(x))dx + dy = 0 y denotamos P(x,y) = a(x)y − b(x) y Q(x,y) = 1, se tiene

Por tanto, según hemos visto anteriormente, la E. D. tiene el factor integrante
    
 

Así, multiplicando por µ(x), la ecuación



tiene que ser exacta. Ahora, bastará encontrar la función potencial F con lo que la ecuación anterior podrá ponerse dF = 0 y su solución será F(x,y) = C. Busquemos F:
Como
 

Tendremos

 
 Por otra parte, derivando esta F respecto de x y usando que  

Llegamos a
 
 

De donde
 
 Integrando,
 

Luego
 
 



 y la solución de la ecuación exacta (y de la lineal de partida) es, expresada en forma implícita,
 



Sin más que despejar y, tenemos que la solución de la ecuación lineal resulta ser

 

(ii) Un segundo método de resolución se basa en resolver previamente la ecuación lineal homogénea asociada y′+ a(x)y = 0. Esta ecuación es de variables separadas, pues puede ponerse

 

su solución es
 

Apliquemos ahora el método de variación de las constantes, esto es, consideremos
 
y vamos a ver cómo debe ser C(x) para que se verifique y′+ a(x)y = b(x).
Derivando,

 
 y, sustituyendo en la ecuación lineal,



Dos de los sumandos anteriores se cancelan, de donde

Integrando,

 

Así, hemos llegado a la misma expresión para las soluciones que la que encontramos por el método anterior.
 
(iii) El tercer procedimiento de resolución parte de suponer que hemos encontrado, de alguna forma, una solución particular y_p(x) de la E. D. lineal. Entonces, la solución general de la lineal es y_p más la solución general de la lineal homogénea asociada, es decir,

 
es solución para todo C ∈ R. La justificación de este hecho es sencilla. En efecto, basta comprobar que, si y_pes solución de y′+a(x)y = b(x) y y lo es de y′+a(x)y = 0, entonces
y + y_p es solución de y′+ a(x)y = b(x), lo cual es claramente cierto:
(y + y_p)′+ a(x)(y + y_p) = (y′+ a(x)y) + (y_p′+ a(x)y_p) = 0 + b(x) = b(x).
(iv) El último método de resolución de ecuaciones lineales que describimos consiste en efectuar una descomposición y(x) = u(x)v(x) adecuada. Tomando y de esa forma, si derivamos, y′= u′v+uv′, con lo cual, al sustituir en la ecuación, u′v+uv′+a(x)uv = b(x).
Sacando u factor común, podemos escribir la expresión anterior como
u′v+(v′+a(x)v)u =b(x). Vamos ahora a elegir v de tal forma que se anule el coeficiente de u, es decir, que satisfaga v′+ a(x)v = 0.Ésta es una E. D. en variables separadas; resolviéndola,
 
 
, con lo cual basta tomar

 
 Con v(x) esa función, la ecuación queda ahora u′v = b(x), de donde u′= b(x)v−1, es decir,
 
 


. Integrando,

 

Sin más que recomponer y = u(x)v(x), con este procedimiento de nuevo encontramos la misma expresión para las soluciones de la E. D. lineal de partida.