II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.- Ecuaciones homogéneas

3.-    Ecuaciones homogéneas

Se trata de ecuaciones de primer orden

 

En que la función f es continua en un abierto     y homogénea de grado cero, es decir
 


Este tipo de ecuaciones se resuelven transformándolas en una ecuación de variables separadas mediante el cambio
 

 Válido para  x≠0. En efecto,
 
 

La ecuación anterior tiene soluciones constantes z = λ para toda raíz λ de la ecuación
λ = f (1, λ).
En la variable y éstas son soluciones lineales y = λx, mientras que las demás soluciones
se obtienen integrando , es decir son de la forma



Ejemplo




Es una ecuación homogénea (tanto el numerador como el denominador son homogéneos
de grado 2), con
.
 

Las soluciones lineales son por tanto y = 0 e y = −2x. Las demás soluciones están dadas
por