II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.Teoría preliminar

1.Teoría preliminar

    

Se iniciará estudiando ecuaciones diferenciales de primer orden suponiendo que Ia ecuación tiene Ia forma o puede ser llevada a:

    EI problema es entonces el siguiente: dada f(t, y) encontrar todas las funciones y(t) que satisfacen la ecuación         diferencial (1). Este problema puede ser atacado de Ia siguiente manera. Un principio fundamental de Ias matemáticas es que la manera de resolver un nuevo problema es reducirlo, de alguna manera, a un problema que ya ha sido resuelto.

   En la práctica se hace esto repetidas veces hasta llegar a un problema que tiene Ias caracteristicas de uno que ya se  resolvió. Dado que por el momento el problema es resolver ecuaciones diferenciales, es recomendable hacer una lista de ias ecuaciones diferenciales que pueden resolverse. Si se parte de la suposición de que los antecedentes matemáticos consisten solamente en Cálculo elemental se verá que Ia triste realidad es que la única ecuación diferencial de primer orden que es posible resolver es

donde g es una función integrable del tiempo. Para resolver la ecuación (2), simplemente se integran ambos lados con respecto a t y se obtiene

 

   Aquí c es una constante arbitraria de integración y por             se representa una anti derivada de g; en otras palabras, una función cuya derivada es g. Por esto, para resolver cualquier otra ecuación diferencial hay que reducirla de alguna manera a la forma (2).

  Pero esto es imposible de hacer en Ia mayoría de los casos. 

  De aquí que no puedan resolverse la mayoría de Ias ecuaciones diferenciales sin Ia ayuda de una computadora. 

 Todo esto hace parecer razonable que para encontrar aquellas ecuaciones diferenciales que es posible resolver, hay que 

 empezar con ecuaciones simples, y no con una de Ia forma

(Ia cual, incidentalmente, no tiene solucIón exacta.

 La experiencia ha mostrado que las ecuaciones más simples son lineales con respecto a Ia variable dependiente y.

 
 
  DEFINICIÓN. La ecuación diferencial lineal general de primer orden es

    A menos que se indique lo contrario, se supone que las funciones a(t) y b(t) son continuas en el tiempo.

 Esta ecuación se particulariza y se llama lineal porque la variable dependiente y aparece sola; es decir, no aparecen en la ecuación términos de la forma 

Son ecuaciones no lineales.