VI. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES 1.- La ecuación de Cauchy – Euler

Hay ecuaciones con coeficientes variables que pueden transformarse mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Entre ellos están las ecuaciones de Euler  o  Cauchy-Euler.

En el caso homogéneo, de segundo orden, se trata de la ecuación:

 

 donde  a₀, a₁, a₂  son constantes reales y  a₀ ¹ 0.

Se verifica:

“El cambio   reduce la ecuación (3) a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes”.

En efecto :

Suponiendo  x > 0, se hace         ó      t = ln x.

Entonces :   

               

Sustituyendo en  (3) :   

         

Es decir:     

                                 (4)

ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Una vez resuelta esta ecuación, se deshace el cambio.

Notas :

a)      El intervalo en el que se aplica el teorema de existencia y unicidad, es cualquier I que no contenga x = 0.

b)      Se ha supuesto en lo anterior que  x > 0. Si  x < 0  se hace  x = - e^t. Si  y(x) es una solución de la ecuación de Euler homogénea para x > 0, lo es y(-x) para x < 0.

c)      La ecuación                      a₀(ax + b)² y’’+ a₁(ax + b)y’ + a₂y = 0,            también se transforma, mediante       en una ecuación con coeficientes constantes.

Por tanto :

Caso 1:   Si la ecuación característica de (4) tiene dos raíces reales r₁  y  r₂ distintas, la solución de (4) es:         y(t) = C₁ + C₂ .

Luego la solución general de (3) es :              y(x) =

Caso 2:   Si la ecuación característica de (4) tiene una raíz doble  r₁  la solución de (4) es :             .

Luego la solución general de  (3) es :            .

Caso 3:   Si la ecuación característica de (4) tiene las raíces complejas  a ± ib , la solución  de (4) es:    y(t) = e^at [C₁ cos bt + C₂ sen bt].

Luego la solución general de (3) es :             y = |x|^a [C₁ cos (bln|x|) +C₂ sen (bln|x|].

EJEMPLO:

Resolver la ecuación diferencial:       3x² y’’ –  4x y’ + 2y = 0.

Para  x > 0        se hace   x = e^t     ó     t = ln x

.

En la ecuación diferencial : 

  .

Ecuación característica :     3r² – 7 r + 2 = 0   Þ    r₁ = 2,   r₂ = 1/3.

Luego                                     y(t) = C₁ e^2t + C₂ e ^(t/3).

Por tanto :                              y(x) = C₁ x² + C₂ |x|^(1/3)       x ¹ 0.