2.- Variables separables
La ecuación diferencial lineal de primer orden
se resolvió dividiendo ambos lados de la ecuación entre y(t) para obtener la
ecuación equivalente
Observando que la ecuación (2) puede escribirse en Ia forma
Al integrar ambos lados de (3) se encontró 
por lo tanto, y(t).
De manera totalmente análoga puede resolverse la ecuación diferencial más
general
Donde f y g son funciones continuas de y y t. Esta ecuación, y cualquier otra
que pueda escribirse de tal forma, se llama ecuación separable.
Para resolver (4) se multiplican primero ambos lados por f(y)
para obtener la siguiente ecuación equivalente
Después, se observa que (5) puede escribirse en la forma
donde F(y) es una anti derivada de f(y), es decir,
Por lo tanto
donde c es una constante arbitraria de integración.
Para encontrar la solución general de (4) se despeja y = y(t) de (7).
EJEMPLO
Encontrar la solución general de la ecuación
Solución.
Esta ecuación puede escribirse en la forma
por lo tanto, 
AI sacar logaritmos en ambos lados de la
ecuación se obtiene
Además de Ia ecuación diferencial (4) se impone muchas veces una condición inicial
a y(t) de Ia forma y(t0) = Yo La ecuación diferencial (4) junto con Ia condición
inicial y(to) = Yo es un problema de valor inicial. Un problema de esta clase
puede resolverse de dos maneras. Una forma es utilizar Ia condición inicial
y(t0)=Yo para encontrar el valor de Ia constante c en (7), y otra es integrando
ambos lados de (6) de to a t para obtener
Observando que
La ecuación se puede
escribir de forma mas sencilla
No hay comentarios:
Publicar un comentario