Hay
ecuaciones con coeficientes variables que pueden transformarse mediante cambio
de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Entre ellos están las ecuaciones
de Euler o Cauchy-Euler.
En el caso
homogéneo, de segundo orden, se trata de la ecuación:
donde a0,
a1, a2 son
constantes reales y a0 ¹ 0.
Se verifica:
“El cambio 
reduce la ecuación
(3) a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes”.
reduce la ecuación
(3) a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes”.
En efecto :
Suponiendo x > 0, se
hace
ó t =
ln x.
Entonces
:
Sustituyendo en (3) :
Es decir:
(4)
ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes.
Una vez resuelta
esta ecuación, se deshace el cambio.
Notas :
a)
El intervalo en el que se aplica
el teorema de existencia y unicidad, es cualquier I que no contenga x = 0.
b)
Se ha supuesto en lo anterior
que x > 0. Si x < 0 se hace x = - et. Si y(x) es una solución de la ecuación de Euler homogénea
para x > 0, lo es y(-x) para x < 0.
c)
La ecuación a0(ax + b)2 y’’+
a1(ax + b)y’ + a2y = 0, también se transforma, mediante 
en una ecuación con
coeficientes constantes.
en una ecuación con
coeficientes constantes.
Por
tanto :
Caso 1: Si la ecuación característica de (4) tiene
dos raíces reales r1 y r2 distintas, la solución de (4)
es: y(t) = C1
+ C2
.
Luego la solución general de (3) es : y(x) =
Caso 2: Si la ecuación característica de (4) tiene
una raíz doble r1 la solución de (4) es :
.
Luego la solución general de (3) es : 
.
.
Caso 3: Si la ecuación característica de (4) tiene
las raíces complejas a ± ib , la
solución de (4) es: y(t) = eat [C1
cos bt + C2 sen bt].
Luego la solución general de (3) es : y = |x|a [C1
cos (bln|x|) +C2 sen (bln|x|].
EJEMPLO:
Resolver la
ecuación diferencial: 3x2 y’’ – 4x y’ + 2y = 0.
Para x > 0 se hace x = et ó
t = ln x
.
En la ecuación
diferencial :
.
Ecuación
característica : 3r2 – 7 r
+ 2 = 0 Þ r1 = 2, r2 = 1/3.
Luego y(t)
= C1 e2t + C2 e (t/3).
Por tanto : y(x) = C1 x2 + C2
|x|(1/3) x ¹ 0.
