Si despreciamos el
rozamiento, la única fuerza que actúa en la dirección horizontal es la fuerza
elástica que el resorte ejerce sobre el carrito.
Aplicando al 2da
ley de Newton, resulta:
Para hallar la
ecuación horaria del movimiento es decir x = x(t) debemos hallar la soluciòn de
la ecuación diferencial:
La función que
buscamos debe ser una función periódica. Al derivarla dos veces debe dar una
función proporcional a la función propuesta pero con el signo opuesto.
Tomamos como
instante inicial el momento en que el carrito está en x =A. Entonces las
condiciones iniciales son to = 0, xo = A; vo
= 0. Entonces la función que buscamos debe ser igual a A
cuando t = 0.
Sistema
masa resorte vertical
En la posición de
equilibrio la fuerza elástica, fuerza que ejerce el resorte sobre la pesa, tiene igual módulo que la fuerza peso (fuerza
que ejerce la Tierra
sobre al pesa).
Entonces el resorte
estará estirado un Δle
que debe ser igual al peso dividido por la constante del resorte.
Si desde esta
posición de equilibrio desplazamos a la pesa y por lo tanto variamos la
longitud del resorte, éste estará ejerciendo una fuerza distinta del peso.
Elegimos un sistema
de coordenadas en el cual el origen coincide con la posición de equilibrio.
Supongamos que levantamos la pesa hasta una posición yo. El resorte
estará ejerciendo fuerza hacia abajo, ya que está comprimido y junto a la
fuerza gravitatoria provocará una aceleración hacia abajo sobre la pesa. Mientras
la pesa cae, la fuerza que ejerce el resorte disminuye. Cuando la pesa pasa por
y
= 0 ambas fuerzas se igualan, y luego la fuerza elástica será mayor al
peso. Esto provocará una aceleración en sentido opuesto, en nuestro caso en
+y, que irá frenando a la pesa hasta que
en cierto instante se detendrá. Se puede demostrar que esto ocurrirá cuando y = - yo.
Planteamos la 2da
ley de Newton en una posición x
cualquiera como la indicada en la figua:
En la 1ra ecuación
y -Δle es la que está estirado el resorte
cuando su extremo unido a la pesa está en la posición y. Pero al aplicar la
propiedad distributiva nos quedan dos términos que se anulan entre sí, ya que
como hemos dicho el valor del estiramiento del resorte en equilibrio es igual
al peso/k.
Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento del sistema queda de la
misma forma que en el caso del sistema horizontal cuando la única fuerza que
actúa en el sentido del movimiento es la fuerza elástica.
Pero hay una
diferencia:
En el sistema masa
resorte horizontal x
lo que está estirado el resorte, o comprimido, y también es la posición del
móvil.
En el sistema masa
resorte vertical y
es la posición del móvil pero no es
igual a lo que está estirado el resorte, o comprimido
Las dos ecuaciones
diferenciales quedaron idénticas porque en ambos casos se tomó el origen de
coordenadas en la posición de equilibrio.
En el sistema masa
resorte horizontal dicha posición corresponde a fuerza resultante
nula y a fuerza elástica nula.
En el sistema masa
resorte vertical la posición
de equilibrio corresponde a fuerza resultante nula pero la fuerza que está
ejerciendo el resorte es igual al peso y por lo tanto el resorte está estirado
Una consecuencia
importante de esta identidad entre las ecuaciones diferenciales es que la
soluciones correspondientes a la posición, velocidad y aceleración en función
del tiempo, x = x(t), v = v(t) y a = a(t), serán las mismas en ambos casos y la
frecuencia angular w en
ambos casos es función de k y de m, pero es
independiente de la aceleración de la gravedad g.
Resumimos las
soluciones….
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