III. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.- aplicaciones de las ecuaciones lineales

Las ecuaciones diferenciales constituyen una herramienta poderosa y versátil para resolver problemas provenientes de los más diversos horizontes: de la Mecánica a la Biología, de la Electricidad a la Economía, etc.

El primer paso de la resolución de estos problemas es la modelación, es decir la “traducción” en relaciones matemáticas de los aspectos intrínsecos más relevantes de la situación planteada.

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial de orden dos

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A sen(w t+j )
Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t=0.
x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ