IV. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3..- Coeficientes no determinados

3.-        Coeficientes no determinados

Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría

Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que

Podemos inferir dos cosas:

• La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.

• La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.

Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador.
Propiedades del operador anulador.

1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal.

2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores anuladores.

3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D.

Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una EDO lineal homogénea, pero de orden mayor.

Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales, los coeficientes de la parte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes indeterminados).

Resumen coeficientes indeterminados.

 El método de coeficientes indeterminados sólo es aplicable cuando la parte no homogénea de la EDO es una función del tipo:

•  Polinomio
•  Exponencial
•  Seno o Coseno
• Combinaciones de ellas.

• ·          El operador anulador transforma la EDO lineal no homogénea en una EDO homogénea de orden mayor.
• ·          El método del operador anulador nos sirve para determinar sólo la forma que debe tener la solución particular.
• ·          Para determinar los coeficientes de la forma en la solución particular se sustituye la solución particular y nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales.
• ·          Los coeficientes en la solución de la homogénea se determinan con los valores iniciales o con los valores en la frontera.