1..INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 2.- origenes de las ecuaciones diferenciales

2.- origenes de las ecuaciones diferenciales

El conocimiento y desarrollo de las ecuaciones diferenciales en el mundo nacieron (como lo han hecho todas las ciencias conocidas) producto de la necesidad que posee el ser humano de encontrar la solución de los problemas que se presentan en su diario vivir, en su trabajo o en cualquier otra situación y que requieren de un método apropiado para llegar a una respuesta buscada.

Es así como, en un principio, Newton, Leibniz y los Bernoulli en el Siglo XVII descubrieron las ecuaciones diferenciales y las utilizaron en la resolución de problemas de geometría y mecánica y al mismo tiempo, sentaron como precedente la importancia de las mismas en diversas situaciones y la necesidad de un amplio desarrollo posterior, camino en el cual se hallarían nuevos métodos resolutivos con niveles de compejidad muy diferentes, miles de aplicaciones y, paso tras paso, desencadenarían en una importantísima área de las matemáticas.

Este suceso que marcó el inicio de la historia de las ecuaciones diferenciales es, sin lugar a duda, un destacado acontecimiento para las matemáticas y para las ciencias que sirven de ellas en su desarrollo, tanto que las ecuaciones diferenciales son consideradas en nuestros días como pilares fundamentales de los conocimientos ingenieriles y de las áreas investigativas, entre muchos otros aspectos. 

Pensamos que las ecuaciones diferenciales tienen un gran futuro por delante porque ha quedado demostrado a través de su historia que su alto grado de complejidad y, principalmente, de aplicabilidad practicamente no poseen límite alguno y, que por el contrario, a medida que surgen nuevos problemas para la humanidad, nuevas áreas de conocimiento, nuevos desarrollos de las ciencias existentes se hace más y más imperiosa la necesidad de acudir a las ecuaciones diferenciales y aún más teniendo en cuenta que no solamente nos ayudan a resolver un problema sino que tienen la propiedad de desembocar en nuevos conceptos, nuevas soluciones, nuevos métodos y nuevas propiedades de nuestro mundo hábido de ser descubierto.

Por todo lo anterior, está claro que el conocimiento acerca de las euaciones diferenciales no está destinado a tener un fin ni una conclusión útima sino que tiende a aportarnos herramientas útiles en el día a día de nuestro cada vez más agitado vivir.

I. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.- Definiciones básicas y terminología

1.- Definiciones básicas y terminología

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales.

Como en la ecuación  (x² + y²) dx – 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

Definición y terminología:

Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables. 

Clasificación:

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

1. Según  el Tipo:

Se clasifican, en ecuación diferencial ordinaria y en ecuación diferencial en derivadas parciales.

1.      Ecuación diferencial ordinaria: la función desconocida depende de una sola variable.

Ecuación diferencial en derivadas parciales:

La función desconocida depende de más de una variable.

1. Según el Orden:

Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el grado de la derivada más alta (exponente).

1. Según la linealidad o no linealidad:

 Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

a)       La variable dependiente Y junto con todas sus derivadas son  de primer grado.

b)      Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.

 Se dice que una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no cumple con las condiciones de linealidad o propiedades de linealidad.

Ejemplos de Ecuaciones diferenciales no lineales.